@DevilRN: Das ist gut so, das Du nicht mehr zurück zu PHP5.5 kannst 
(aber ich weiß was Du meinst).
Ich habe jetzt aber eine starke Vermutung. Dein PHP+Apache wird mlgw. nicht den Anforderungen für das das von Paypal geforderte TLS1.2 SSL-Protokoll erfüllen. (siehe google: Paypal + tls)
Bevor Du an den PHP-Versionseinstellungen arbeitest, stelle für Dich sicher, das Du keine verschlüsselten OXID-Module verwendest. Die sind in der Regel an genau die PHP-Version gebunden. Wenn Du das geklärt hast, dann hier mein Vorschlag:
Variante 1) Richte bei Deinem Hoster unter einer Sub-Domain ein Test-System ein. Schalte hier auf PHP5.6. Viele Hoster haben Tools bei der Hand, mit denen Du 1:1 Kopien von DBs und Filesystemen machen kannst. Probiere anschließend in der Testumgebung den Checkout aus.
Variante 2) Viele Hoster ermöglichen durch ein htaccess-Regel die Umschaltung des PHPs auf Filesystembasis. (Stichwort : addHandler). Probiere es so mit Deinem Shop aus.
Kommst Du durch den Checkout, kannst Du zentral auf PHP5.6 wechseln.
Mit weiteren überschaubaren Anpassungen kannst Du den Shop auch mit PHP7.1 laufen lassen. Schau Dir dann dazu das hier die Links in dem Kommentar an: Fatal error nach Umstellung von PHP5 auf PHP 7, CE 4.7.5